확률을 배우기 전에 먼저 해야 할 일은 무엇이 가능한 결과인가를 분명히 하고, 그 결과들을 빠짐없이 세는 것입니다. 조합론은 가능한 경우를 세는 언어이고, 확률은 그 경우들 중 관심 있는 경우가 얼마나 큰 비율을 차지하는지 읽는 언어입니다. 그래서 확률은 셈에서 시작합니다.

먼저 알아둘 말

표본공간: 가능한 전체 결과의 모임이다.
사건: 표본공간 안에서 우리가 관심을 가지는 결과들의 모임이다.
경우의 수: 가능한 결과가 몇 가지인지 센 값이다.
곱의 법칙: 단계별 선택 수를 곱해 전체 경우의 수를 구하는 원리다.
순열: 순서를 고려해 뽑는 경우의 수다.
조합: 순서를 무시하고 뽑는 경우의 수다.
여사건: 어떤 사건이 일어나지 않는 경우들의 모임이다.

이 강의에서 답할 질문

왜 확률을 계산하기 전에 먼저 표본공간과 사건을 정해야 하는가?
경우의 수는 어떤 원리로 세는가?
순열과 조합은 언제 구분해야 하는가?
확률은 왜 유리한 경우 / 전체 경우로 시작할 수 있는가?
여사건과 합사건을 알면 계산이 왜 쉬워지는가?

먼저 떠올릴 장면

비밀번호를 만들 때는 같은 숫자라도 자리 순서가 다르면 완전히 다른 경우입니다.
팀을 짤 때는 누가 함께 뽑혔는지가 중요하고 이름의 나열 순서는 중요하지 않습니다.
주사위를 던질 때 짝수가 나올 확률을 묻는다면, 먼저 가능한 전체 눈을 알아야 합니다.

생각의 순서

먼저 가능한 결과 전체를 표본공간으로 정합니다.
그다음 셈의 기본 원리로 경우의 수를 구합니다.
이어서 순열과 조합을 구분합니다.
그다음 사건의 경우의 수를 전체 경우의 수와 비교해 확률을 정의합니다.
마지막으로 여사건과 합사건으로 계산을 더 효율적으로 하는 법을 봅니다.

본문

확률은 무작정 공식부터 외우는 과목이 아닙니다. 먼저 무엇이 가능한 결과인가를 분명히 해야 합니다. 이 전체 가능한 결과들의 집합을 표본공간이라고 합니다.

예를 들어 주사위를 한 번 던지면 표본공간은

$$ S={1,2,3,4,5,6} $$

입니다.

여기서 짝수가 나온다는 사건은

$$ A={2,4,6} $$

입니다.

즉 확률 문제는 먼저 전체 가능한 결과를 정하고, 그 안에서 관심 있는 결과들이 무엇인지 표시하는 일부터 시작합니다.

이제 그 결과들을 세어야 합니다. 가장 기본 원리는 곱의 법칙입니다. 어떤 과정이 여러 단계로 이루어져 있고,

첫 단계가

$$ a $$

가지이고, 둘째 단계가

$$ b $$

가지라면,

라면 전체 경우는

$$ ab $$

가지입니다.

예를 들어 상의가 3벌, 하의가 2벌이면 옷차림은

$$ 3 \times 2 = 6 $$

가지입니다. 각 단계의 선택이 차례로 붙기 때문에 곱합니다.

하지만 셈은 항상 같은 방식이 아닙니다. 순서가 중요한지 아닌지를 먼저 판단해야 합니다.

예를 들어 학생 5명 중 회장과 부회장을 뽑는다면, 같은 두 사람이라도 누가 회장이고 누가 부회장인지에 따라 결과가 달라집니다. 이런 문제는 순서를 고려하는 문제입니다. 이때는 순열을 씁니다.

$$ {}_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!} $$

반대로 학생 5명 중 2명으로 팀을 만든다면, A와 B를 뽑은 것과 B와 A를 뽑은 것은 같은 팀입니다. 이런 문제는 순서를 무시하는 문제입니다. 이때는 조합을 씁니다.

$$ {}_nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!} $$

순열과 조합의 차이는 공식을 외우는 데 있지 않습니다. 이 문제에서 순서가 결과를 바꾸는가를 묻는 데 있습니다.

이제 확률로 넘어갑니다. 모든 결과가 같은 가능성을 가진다고 가정하면, 사건

$$ A $$

의 확률은

$$ P(A)=\frac{\text{A가 일어나는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} $$

입니다.

즉 확률은 비율입니다. 전체 중에서 원하는 경우가 차지하는 몫입니다.

예를 들어 주사위를 한 번 던져 짝수가 나올 확률은

$$ P(\text{짝수})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

입니다. 전체 6가지 중 짝수 사건이 3가지이기 때문입니다.

확률 계산을 쉽게 만들어 주는 중요한 도구가 여사건입니다. 어떤 사건

$$ A $$

가 일어나지 않는 사건을

$$ A^c $$

라고 하면,

$$ P(A^c)=1-P(A) $$

입니다.

예를 들어 적어도 한 번 성공 같은 문제는 직접 세기보다 한 번도 성공하지 않음을 먼저 세고 1에서 빼는 것이 더 쉬운 경우가 많습니다.

또 두 사건

$$ A,\ B $$

중 하나라도 일어나는 사건은

$$ A \cup B $$

라고 쓰고, 겹치는 부분이 없으면

$$ P(A \cup B)=P(A)+P(B) $$

입니다. 즉 사건을 집합처럼 생각하면 확률 계산 구조가 더 분명해집니다.

결국 조합론과 확률의 출발점은 같습니다. 먼저 가능한 결과들을 정확히 정하고, 그 결과를 빠짐없이 세고, 관심 있는 경우가 전체 중 얼마만큼인지 비율로 읽는 것입니다.

예제

순열인지 조합인지 구분하기 문제: 학생 5명 중 회장과 부회장 2명을 뽑는 경우의 수를 구하라.

풀이: 자리가 다르므로 순서를 고려한다.

$$ {}_5P_2=5\times 4=20 $$

해설: 같은 두 사람이어도 역할 배치가 달라지면 다른 결과다. 그래서 순열이다.

조합 계산하기 문제: 학생 5명 중 2명으로 이루어진 팀을 만드는 경우의 수를 구하라.

풀이: 팀원만 중요하고 순서는 중요하지 않다.

$$ {}_5C_2=\frac{5!}{2!3!}=10 $$

해설: 같은 두 사람은 나열 순서가 달라도 같은 팀이므로 조합이다.

경우의 수로 확률 구하기 문제: 주사위를 한 번 던져 4 이상이 나올 확률을 구하라.

풀이: 전체 경우는 6가지이고, 유리한 경우는

$$ {4,5,6} $$

의 3가지다.

$$ P(X\ge 4)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

해설: 확률은 결국 전체 중에서 유리한 경우가 차지하는 비율이다.

스스로 점검

표본공간과 사건을 왜 먼저 정해야 하는지 설명할 수 있는가?
곱의 법칙이 왜 단계별 선택 수를 곱하는 것인지 설명할 수 있는가?
순열과 조합을 순서가 결과를 바꾸는가라는 질문으로 구분할 수 있는가?
확률이 왜 경우의 수 비율로 시작할 수 있는지 설명할 수 있는가?
여사건

$$ P(A^c)=1-P(A) $$

을 언제 쓰면 계산이 쉬워지는지 말할 수 있는가?