이 강의는 숫자만으로 설명하기 어려운 상황을 왜 문자와 식으로 적는지, 그리고 식을 어떤 순서로 읽어야 하는지를 처음부터 다시 세우는 강의입니다. 뒤에서 만날 함수, 확률, 미분, 신경망 식도 모두 여기서 배우는 읽기 규칙 위에 서 있습니다.

먼저 알아둘 말

문자: 아직 값이 정해지지 않았거나, 상황에 따라 바뀔 수 있는 수를 대신 적는 기호다.
변수: 값이 달라질 수 있는 문자다.
상수: 항상 같은 값으로 두는 수다.
항: 더하기와 빼기를 기준으로 나눈 식의 한 조각이다.
계수: 문자 앞에서 몇 배인지를 나타내는 수다.
차수: 문자에 붙은 가장 큰 거듭제곱의 크기다.
다항식: 항 여러 개를 더하고 빼서 만든 식이다.

이 강의에서 답할 질문

왜 숫자만으로는 부족해서 문자를 도입하는가?
식을 읽을 때 무엇부터 봐야 하는가?
같은 항끼리만 묶는다는 말은 정확히 무슨 뜻인가?
식의 모양을 바꾸어도 뜻이 같을 수 있는 이유는 무엇인가?

숫자만으로는 왜 부족한가

우리는 숫자를 알고 있을 때는 바로 계산할 수 있습니다. 하지만 실제 문제에서는 값을 아직 모르는 경우가 더 많습니다. 가격이 바뀌거나, 입력이 아직 들어오지 않았거나, 규칙을 일반적으로 적고 싶을 때가 그렇습니다.

예를 들어 사과 한 개 가격을 아직 모른다고 하겠습니다. 이때 숫자를 억지로 적는 대신, 그 가격 자체를 문자로 두면 관계를 먼저 적을 수 있습니다.

$$ \text{사과 한 개 가격} = x $$

$$ \text{사과 세 개 가격} = 3x $$

여기서 중요한 점은 아직 x의 값을 몰라도 세 개 가격이 한 개 가격의 세 배라는 사실은 이미 적을 수 있다는 점입니다. 문자는 "값을 숨기는 장치"가 아니라 "관계를 먼저 적는 장치"입니다.

문자 한 글자가 뜻하는 것

문자를 보면 가장 먼저 "이 문자가 무엇을 대신하고 있는가"를 물어야 합니다. 같은 x라는 글자라도 문맥에 따라 뜻이 다를 수 있기 때문입니다.

아래 식에서 x는 입력값이고, 3과 2는 고정된 수입니다.

$$ 3x + 2 $$

이 식은 "입력값을 세 배 하고, 그 뒤에 2를 더한다"는 규칙을 뜻합니다. 여기서 x가 바뀌면 식 전체의 값도 바뀝니다. 반대로 2는 그대로 있습니다. 그래서 x는 변수이고, 2는 상수입니다.

식을 읽는 가장 작은 단위는 항이다

식은 한 번에 통째로 읽기보다, 더하기와 빼기를 기준으로 조각내서 읽어야 합니다. 그 조각 하나하나를 항이라고 합니다.

예를 들어 아래 식을 보겠습니다.

$$ 2x^2 + 3x - 5 $$

이 식은 세 개의 항으로 이루어져 있습니다.

항	읽는 말	역할
$2x^2$	`x^2`항	입력의 제곱에 비례하는 부분
$3x$	`x`항	입력에 비례하는 부분
$-5$	상수항	입력과 상관없이 늘 같은 부분

식을 읽을 때는 먼저 항을 나누고, 그다음 각 항이 어떤 종류인지 구분해야 합니다. 이 순서를 건너뛰면 뒤에서 같은 항을 정리하거나, 전개와 인수분해를 이해할 때 바로 막힙니다.

계수와 차수는 무엇을 말하는가

항 하나를 읽을 때는 그 항의 계수와 차수를 같이 봐야 합니다.

$$ 7x^3 $$

위 항에서 7은 계수이고, 3은 차수입니다. 계수는 "몇 배인가"를 말하고, 차수는 "문자가 몇 번 곱해졌는가"를 말합니다.

같은 x가 들어 있어도 아래 두 항은 서로 다른 종류입니다.

$$ 5x $$

$$ 5x^2 $$

첫 번째는 x항이고, 두 번째는 x^2항입니다. 문자가 같다고 해서 같은 항이 되는 것이 아니라, 문자와 차수까지 같아야 같은 항입니다.

같은 항끼리만 묶을 수 있는 이유

아래 계산은 할 수 있습니다.

$$ 3x + 2x = 5x $$

왜냐하면 둘 다 x가 한 번 들어 있는 같은 종류의 항이기 때문입니다.

반면 아래 식은 바로 하나로 합칠 수 없습니다.

$$ x^2 + 2x $$

이유는 두 항의 종류가 다르기 때문입니다. 하나는 x^2항이고 다른 하나는 x항입니다. 사과 세 개와 사과 상자 두 개를 그냥 합쳐서 같은 이름으로 부를 수 없는 것과 비슷합니다.

식 정리의 핵심은 계산 기술보다 분류입니다. 먼저 같은 종류인지 확인하고, 같은 종류일 때만 계수끼리 더하고 뺍니다.

다항식은 왜 중요한가

다항식은 항 여러 개를 더하고 빼서 만든 식입니다. 지금 단계에서는 "복잡한 식도 결국 항의 모음"이라는 감각을 잡는 것이 중요합니다.

$$ x^3 - 4x^2 + x - 7 $$

이 식은 네 개의 항으로 이루어진 다항식입니다. 다항식을 배우는 이유는 뒤의 수학에서 만나는 많은 식이 다항식이거나, 다항식처럼 항 단위로 읽을 수 있기 때문입니다.

예를 들어 손실함수, 근사식, 확률분포의 일부 표현도 결국 "항의 구조"로 읽어야 해석이 됩니다.

식의 모양이 달라도 뜻은 같을 수 있다

같은 식을 다른 모양으로 바꾸어 쓰는 일은 수학에서 매우 중요합니다. 모양을 바꾸는 대표적인 두 방향이 전개와 인수분해입니다.

전개는 묶여 있는 구조를 펼쳐서 항을 보는 일입니다.

$$ (x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6 $$

인수분해는 여러 항의 구조를 다시 묶어 보는 일입니다.

$$ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) $$

왼쪽과 오른쪽은 생김새가 다르지만 뜻은 같습니다. 따라서 식을 보는 실력은 "계산을 많이 하는 힘"만이 아니라, "같은 뜻을 다른 모양으로 알아보는 힘"이기도 합니다.

AI 식을 읽을 때도 먼저 보는 것은 역할이다

AI 수학에서 처음 자주 만나는 식 가운데 하나는 아래와 같은 1차식입니다.

$$ y = wx + b $$

이 식을 처음 읽을 때 가장 먼저 할 일은 계산이 아닙니다. 각 문자의 역할을 구분하는 일입니다.

기호	역할	읽는 방법
$x$	입력	바깥에서 들어오는 값
$w$	가중치	입력을 몇 배로 볼지 정하는 값
$b$	편향	기본값을 얼마나 더할지 정하는 값
$y$	출력	규칙을 적용한 결과

이 습관이 중요합니다. 뒤에서 손실함수나 신경망 식을 만나도, 먼저 "누가 입력이고 누가 조절하는 값인가"를 구분해야 식이 읽히기 시작합니다.

예제

같은 항끼리 정리하기 문제: 아래 식을 정리하라.

$$ 3x + 2x - 4 + x^2 - 2x^2 $$

풀이: 먼저 같은 종류의 항끼리 모은다.

$$ 3x + 2x = 5x $$

$$ x^2 - 2x^2 = -x^2 $$

따라서 정리한 결과는 다음과 같다.

$$ -x^2 + 5x - 4 $$

해설: x항과 x^2항은 서로 다른 종류이므로 따로 정리해야 한다. 식 정리는 순서를 바꾸는 일이 아니라, 같은 종류를 찾아 모으는 일이다.

식의 역할 읽기 문제: 아래 식에서 입력과 규칙을 정하는 값을 구분하라.

$$ y = wx + b $$

풀이: x는 입력이고, w와 b는 규칙을 정하는 값이다. w는 입력을 몇 배로 볼지 정하고, b는 마지막에 더해지는 기본값 역할을 한다.

해설: 뒤에서 더 복잡한 식을 보더라도 가장 먼저 할 일은 "각 문자의 숫자값"을 계산하는 것이 아니라 "각 문자의 역할"을 구분하는 것이다.

전개와 인수분해의 방향 구분하기 문제: 아래 두 식이 어떻게 연결되는지 설명하라.

$$ (x + 2)(x + 3) $$

$$ x^2 + 5x + 6 $$

풀이: 첫 번째 식을 전개하면 두 번째 식이 된다.

$$ (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 $$

반대로 두 번째 식을 인수분해하면 다시 첫 번째 식으로 돌아간다.

해설: 전개는 구조를 펼쳐서 항을 보는 방향이고, 인수분해는 흩어진 항을 구조로 다시 묶는 방향이다.

스스로 점검

연습 문제

아래 식을 정리하라.

$$ 2x^2 + 3x - x^2 + 5 - 2 $$

아래 식을 인수분해하라.

$$ x^2 + 5x + 6 $$

아래 식을 전개하라.

$$ (x + 2)(x - 3) $$

아래 식에서 입력 변수와 파라미터를 설명하라.

$$ y = wx + b $$

복습 질문

문자를 쓰는 이유를 "관계를 먼저 적는 것"이라는 말로 설명할 수 있는가?
같은 항끼리만 묶어야 하는 이유를 차수까지 포함해 설명할 수 있는가?
전개와 인수분해가 서로 반대 방향의 읽기라는 점을 말할 수 있는가?

체크포인트

변수, 상수, 항, 계수, 차수를 구분할 수 있다.
같은 항끼리 정확히 찾아 정리할 수 있다.
다항식을 항의 모음으로 읽을 수 있다.
간단한 AI 식에서 각 문자의 역할을 설명할 수 있다.