문제 해설 - 03. 미적분과 해석

이 페이지는 12강부터 16강까지의 연습문제를 다시 확인하는 해설 페이지입니다. 답만 적지 말고, 어떤 말을 먼저 떠올렸는가까지 함께 점검해야 합니다.

해설을 읽는 순서

1. 문제에서 묻는 대상이 무엇인지 먼저 정합니다.
2. 그 대상에 맞는 정의를 먼저 떠올립니다.
3. 계산이 필요하면 그다음 계산합니다.
4. 마지막에는 계산 결과를 말로 다시 해석합니다.

12. 극한, 연속, 미분

문제 1

• 문제: 극한은 무엇을 보는 생각인가?
• 해설: 어떤 점에서의 정확한 값보다, 그 점에 가까워질 때 함수값이 어디로 향하는지를 보는 생각이다.

문제 2

• 문제: 연속인 함수가 왜 예측하기 쉬운가?
• 해설: 입력을 조금 바꾸었을 때 출력이 갑자기 튀지 않기 때문이다.

문제 3

• 문제: 평균 변화율과 순간 변화율의 차이는 무엇인가?
• 해설: 평균 변화율은 두 점 사이에서 본 변화율이고, 순간 변화율은 한 점 근처에서 본 변화율이다.

문제 4

• 문제: f(x)=3x^2+2x의 도함수를 구하라.
• 해설: f'(x)=6x+2다.

13. 다변수미분과 Jacobian

문제 1

• 문제: 편미분은 왜 필요한가?
• 해설: 입력이 여러 개일 때 한 방향씩 나누어 변화를 읽기 위해서다.

문제 2

• 문제: f(x,y)=3x+y^2의 y에 대한 편미분을 구하라.
• 해설: 2y다.

문제 3

• 문제: gradient와 Jacobian의 차이는 무엇인가?
• 해설: gradient는 스칼라 출력 함수의 편미분을 모은 벡터이고, Jacobian은 벡터함수의 편미분을 정리한 표다.

문제 4

• 문제: 합성함수는 왜 안쪽부터 읽어야 하는가?
• 해설: 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 입력이 되기 때문에 변화도 안쪽에서 바깥쪽으로 전달된다.

14. 적분, 누적량, 확률밀도

문제 1

• 문제: 적분을 왜 누적이라고 부를 수 있는가?
• 해설: 아주 작은 조각들을 모두 더해 전체량을 만들기 때문이다.

문제 2

• 문제: 0부터 3까지 높이가 2인 함수의 정적분은 얼마인가?
• 해설: 6이다.

문제 3

• 문제: 확률밀도와 확률의 차이는 무엇인가?
• 해설: 확률밀도는 구간마다 얼마나 확률이 몰려 있는지 나타내는 함수이고, 실제 확률은 그 함수를 구간에서 적분한 값이다.

문제 4

• 문제: 누적분포는 무엇을 돌려주는가?
• 해설: 어떤 값 이하일 확률을 돌려준다.

15. Taylor 전개와 근사

문제 1

• 문제: 근사는 왜 필요한가?
• 해설: 복잡한 함수를 한 점 근처에서 더 단순한 식으로 바꾸어 읽기 위해서다.

문제 2

• 문제: 선형화와 2차근사의 차이는 무엇인가?
• 해설: 선형화는 값과 기울기만 반영하고, 2차근사는 휘어짐까지 반영한다.

문제 3

• 문제: Taylor 전개가 국소적이라는 말은 무슨 뜻인가?
• 해설: 함수 전체가 아니라 특정 점 근처에서만 잘 맞는다는 뜻이다.

문제 4

• 문제: 근사에서 오차를 같이 봐야 하는 이유는 무엇인가?
• 해설: 점에서 멀어질수록 실제 함수와 차이가 커질 수 있기 때문이다.

16. 미분방정식과 동역학

문제 1

• 문제: 미분방정식은 무엇을 연결하는 식인가?
• 해설: 상태와 변화율을 연결하는 식이다.

문제 2

• 문제: 초기조건이 왜 필요한가?
• 해설: 같은 변화 규칙이라도 출발점이 다르면 다른 궤적이 나오기 때문이다.

문제 3

• 문제: dx/dt = -x는 어떤 흐름을 뜻하는가?
• 해설: 시간이 지날수록 값이 줄어들며 0 쪽으로 가는 흐름을 뜻한다.

문제 4

• 문제: 연속시간 흐름이 AI 모델과 연결된다는 말은 무슨 뜻인가?
• 해설: 데이터 상태가 시간에 따라 조금씩 바뀌는 과정으로 모델을 읽을 수 있다는 뜻이다.

사용법

• 먼저 스스로 답을 적고 해설을 읽습니다.
• 해설을 볼 때는 내가 어떤 정의를 먼저 떠올렸는가를 꼭 같이 확인합니다.
• 틀린 문제는 계산 실수인지, 순서 실수인지, 용어 이해 실수인지 구분해서 다시 풉니다.