이 강의는 한 값이 바뀔 때 다른 값이 어떻게 정해지는지를 함수라는 언어로 읽는 강의입니다. 그래프는 그 관계를 나중에 눈으로 확인하는 도구일 뿐이고, 먼저 이해해야 할 것은 "입력 하나에 출력 하나가 정해지는 규칙"이라는 뜻입니다.

먼저 알아둘 말

입력: 규칙에 넣는 값이다.
출력: 규칙을 거친 뒤 나오는 값이다.
함수: 각 입력에 대해 정확히 하나의 출력을 정해 주는 규칙이다.
함수값: 어떤 입력을 넣었을 때 실제로 얻는 출력이다.
정의역: 입력으로 허용된 값들의 모임이다.
치역: 함수가 실제로 만들 수 있는 출력들의 모임이다.
그래프: 입력과 출력의 짝을 좌표평면에 나타낸 그림이다.

이 강의에서 답할 질문

함수는 왜 단순한 계산식이 아니라 규칙이라고 하는가?
입력 하나에 출력 하나라는 조건은 왜 중요한가?
정의역과 치역은 무엇을 제한하는가?
그래프는 관계를 이해한 뒤 어떤 도움을 주는가?

먼저 떠올릴 장면

자판기에 버튼을 누르면 그 버튼에 맞는 음료가 나옵니다. 버튼 하나에 여러 음료가 동시에 나오지 않는다면, 이 관계는 함수처럼 생각할 수 있습니다.

택배비 규칙도 비슷합니다. 무게가 주어지면 택배비가 정해집니다. 우리는 이런 관계를 공식으로 쓰든, 표로 쓰든, 말로 설명하든 모두 함수라고 부를 수 있습니다.

즉 함수는 "식의 모양"이 아니라 "입력과 출력 사이의 규칙"을 가리키는 말입니다.

함수는 왜 규칙인가

아래 식을 보겠습니다.

$$ f(x) = 2x + 1 $$

이 식이 뜻하는 것은 단순히 2x + 1이라는 모양이 아닙니다. 입력 x가 들어오면, 그 값을 두 배 하고 1을 더한 결과가 출력된다는 규칙입니다.

예를 들어 입력이 0이면 출력은

$$ f(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1 $$

입력이 1이면 출력은

$$ f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 $$

입력이 2이면 출력은

$$ f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5 $$

가 됩니다.

여기서 중요한 점은 입력이 먼저이고 출력이 나중이라는 점입니다. 함수를 읽을 때는 식의 모양을 외우기보다 "무슨 입력이 들어오면 어떤 출력이 정해지는가"를 먼저 봐야 합니다.

입력 하나에 출력 하나라는 조건

함수라고 부르려면 가장 중요한 조건이 하나 있습니다. 같은 입력을 넣었을 때 출력이 하나로 정해져야 한다는 점입니다.

예를 들어 아래 규칙은 함수입니다.

$$ x \mapsto 2x + 1 $$

입력 3을 넣으면 출력은 항상 하나입니다.

$$ f(3) = 7 $$

반대로 어떤 규칙이 입력 3에 대해 때로는 5, 때로는 8을 준다면, 그 관계는 함수라고 부르기 어렵습니다. 함수는 "헷갈리지 않는 규칙"이어야 하기 때문입니다.

이 조건은 뒤에서 모델을 이해할 때도 중요합니다. 같은 입력을 넣었는데 모델 출력이 제멋대로 바뀐다면, 그 모델은 안정된 함수처럼 읽히지 않습니다.

함수값은 입력을 넣어 확인한다

함수는 말로만 이해하면 흐려지기 쉽습니다. 그래서 실제 값을 넣어 보는 연습이 중요합니다.

아래 함수를 다시 보겠습니다.

$$ f(x) = x^2 $$

입력이 -2, 0, 3일 때 함수값은 각각 다음과 같습니다.

$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 $$

$$ f(0) = 0^2 = 0 $$

$$ f(3) = 3^2 = 9 $$

이처럼 함수는 입력을 넣어 출력이 무엇인지 확인하는 방식으로 읽습니다. 그래프보다 먼저 이 단계가 분명해야 합니다.

정의역은 무엇을 막고, 무엇을 허용하는가

모든 식에 모든 수를 넣을 수 있는 것은 아닙니다. 함수에는 보통 "어떤 입력까지 허용할 것인가"라는 조건이 함께 붙습니다. 이것이 정의역입니다.

예를 들어 아래 함수를 보겠습니다.

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

여기서는 x = 0을 넣을 수 없습니다. 왜냐하면

$$ \frac{1}{0} $$

은 정의되지 않기 때문입니다.

따라서 이 함수의 정의역은 "0을 제외한 수들"입니다. 정의역은 단지 어려운 용어가 아니라, 함수를 쓸 수 있는 입력의 범위를 정하는 장치입니다.

치역은 어떤 출력이 실제로 나오는가를 말한다

정의역이 입력 쪽 조건이라면, 치역은 출력 쪽 결과를 봅니다.

예를 들어 아래 함수를 보겠습니다.

$$ f(x) = x^2 $$

입력을 어떤 실수로 잡아도 출력은 음수가 될 수 없습니다. 왜냐하면 제곱은 항상 0 이상이기 때문입니다.

따라서 이 함수의 출력은 아래 범위 안에 놓입니다.

$$ f(x) \geq 0 $$

즉 치역을 이해한다는 것은 "이 함수가 어떤 값은 만들 수 있고 어떤 값은 만들 수 없는가"를 보는 것입니다.

표는 함수의 짝을 정리하는 가장 쉬운 도구다

그래프를 바로 그리기 전에, 입력과 출력의 짝을 표처럼 먼저 정리하는 것이 훨씬 안정적입니다.

아래 함수가 있다고 합시다.

$$ f(x) = 2x + 1 $$

그러면 몇 개의 입력과 출력 짝은 아래처럼 정리할 수 있습니다.

입력 $x$	출력 $f(x)$
$0$	$1$
$1$	$3$
$2$	$5$

이 표가 먼저 이해되면 그래프는 더 이상 새로운 것이 아닙니다. 표에 있는 한 쌍 한 쌍을 점으로 옮긴 그림이 그래프이기 때문입니다.

그래프는 함수 자체가 아니라 함수의 그림이다

좌표평면에서 입력을 가로축, 출력을 세로축으로 놓으면 함수의 짝을 점으로 나타낼 수 있습니다.

예를 들어 아래 함수가 있다고 합시다.

$$ y = 2x + 1 $$

입력 x = 0, 1, 2에 대해 나오는 출력 y = 1, 3, 5를 점으로 찍으면 다음 세 점을 얻습니다.

$$ (0, 1), \quad (1, 3), \quad (2, 5) $$

그래프는 이 점들을 통해 전체 경향을 보여 줍니다. 즉 그래프는 함수를 대신하는 본체가 아니라, 함수의 모습을 눈으로 보여 주는 그림입니다.

그래프를 너무 일찍 보면 점과 선만 보고 끝나기 쉽습니다. 먼저 입력-출력 규칙을 이해한 뒤 그래프를 보면 훨씬 덜 흔들립니다.

직선 함수는 변화의 규칙을 읽기 쉽다

직선 함수는 입력이 일정하게 변할 때 출력도 일정한 방식으로 변하는 함수입니다.

예를 들어 아래 식을 보겠습니다.

$$ y = -x + 3 $$

이 식은 x가 1 커질 때마다 y가 1씩 줄어든다는 뜻입니다. 또한 x = 0일 때 출력은

$$ y = 3 $$

입니다.

이처럼 직선 함수는 "입력이 바뀌면 출력이 어떤 속도로 바뀌는가"를 읽는 첫 연습으로 좋습니다. 뒤에서 기울기와 변화율을 배울 때 이 감각이 이어집니다.

함수 합성은 규칙을 차례대로 연결하는 일이다

함수는 하나만 있는 것이 아니라 여러 규칙을 차례대로 이어 붙일 수도 있습니다. 이것이 합성함수입니다.

아래 두 함수를 보겠습니다.

$$ f(x) = x + 1 $$

$$ g(x) = 2x $$

이때

$$ g(f(3)) $$

을 계산한다는 것은 먼저 3을 f에 넣고, 그 결과를 다시 g에 넣는다는 뜻입니다.

먼저,

$$ f(3) = 4 $$

그다음,

$$ g(4) = 8 $$

따라서

$$ g(f(3)) = 8 $$

입니다.

합성함수는 "안쪽 규칙이 먼저, 바깥 규칙이 나중"이라는 순서를 이해해야 합니다. 신경망도 결국 작은 함수들이 여러 층으로 합성된 큰 함수라고 볼 수 있습니다.

AI 모델을 함수라고 부르는 이유

AI 모델도 본질적으로는 입력을 받아 출력을 내는 규칙입니다. 예를 들어 이미지를 넣으면 분류 결과가 나오고, 문장을 넣으면 다음 토큰 확률이 나옵니다.

아주 단순하게 쓰면 아래 같은 모양입니다.

$$ y = f(x) $$

여기서 x는 입력 데이터이고, f는 모델 전체의 규칙이며, y는 출력입니다.

물론 실제 모델은 훨씬 복잡하지만, 기본 생각은 같습니다. 입력이 들어오고, 정해진 규칙을 따라 출력이 나옵니다. 그래서 모델을 함수라고 부릅니다.

예제

함수값 구하기 문제: 아래 함수에서 x = 0, 1, 2일 때의 함수값을 구하라.

$$ f(x) = 2x + 1 $$

풀이: 각 값을 차례대로 넣으면 된다.

$$ f(0) = 1 $$

$$ f(1) = 3 $$

$$ f(2) = 5 $$

해설: 그래프를 먼저 그리기보다, 입력과 출력의 짝을 먼저 만드는 것이 함수 읽기의 출발점이다.

정의역과 치역 읽기 문제: 아래 함수에서 정의역의 제한과 출력의 특징을 설명하라.

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

풀이: x = 0은 넣을 수 없으므로 정의역에서 제외해야 한다. 출력값도 0은 될 수 없다.

해설: 정의역은 입력의 허용 범위를 말하고, 치역은 실제 출력이 어디까지 가능한지를 말한다.

합성함수 계산하기 문제: 아래 두 함수에 대해 g(f(3))을 구하라.

$$ f(x) = x + 1 $$

$$ g(x) = 2x $$

풀이: 먼저 안쪽 함수를 계산한다.

$$ f(3) = 4 $$

그 결과를 바깥 함수에 넣으면

$$ g(4) = 8 $$

따라서

$$ g(f(3)) = 8 $$

해설: 합성함수는 규칙을 한 번에 읽는 것이 아니라, 안쪽 규칙과 바깥 규칙을 차례대로 적용하는 구조로 읽어야 한다.

스스로 점검

연습 문제

아래 함수에서 x = -1, 0, 2일 때 함수값을 구하라.

$$ f(x) = x^2 + 1 $$

아래 함수의 정의역에서 허용되지 않는 값을 설명하라.

$$ f(x) = \frac{3}{x - 2} $$

아래 함수의 출력이 왜 항상 0 이상인지 설명하라.

$$ f(x) = x^2 $$

아래 두 함수에 대해 f(g(1))을 구하라.

$$ f(x) = x^2 $$

$$ g(x) = x + 2 $$

모델을 함수라고 부르는 이유를 입력, 출력, 규칙이라는 말로 설명하라.

복습 질문

함수는 왜 단순한 식이 아니라 규칙이라고 하는가?
정의역과 치역은 각각 무엇을 제한하는가?
그래프를 보기 전에 왜 입력과 출력의 짝을 먼저 이해해야 하는가?
합성함수는 왜 안쪽부터 계산해야 하는가?

체크포인트

함수를 입력과 출력의 규칙으로 설명할 수 있다.
함수값을 실제로 계산할 수 있다.
정의역과 치역을 구분해 말할 수 있다.
표와 그래프가 같은 함수를 다른 방식으로 보여 준다는 점을 이해한다.
AI 모델을 함수의 관점에서 설명할 수 있다.