이 강의는 어떤 식이 언제 참이 되는지 찾는 법을 배우는 강의입니다. 뒤에서 배우는 최적화, 제약조건, 확률의 범위 조건도 모두 여기서 배우는 등식과 부등식의 언어 위에 서 있습니다.

먼저 알아둘 말

등식: 왼쪽 값과 오른쪽 값이 같다는 뜻의 식이다.
등호: 두 값이 같음을 나타내는 기호다.
방정식: 어떤 값에서 참이 되는지를 찾는 등식이다.
해: 방정식을 참으로 만드는 값이다.
해집합: 가능한 해를 모아 놓은 집합이다.
부등식: 크고 작음을 비교하는 식이다.
구간: 수직선 위에서 값이 허용되는 범위를 나타내는 말이다.

이 강의에서 답할 질문

방정식을 푼다는 말은 정확히 무엇을 하는 것인가?
왜 양변에 같은 연산을 해도 식의 뜻이 유지되는가?
부등식은 왜 숫자 하나가 아니라 범위로 답하는 경우가 많은가?
음수로 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 왜 바뀌는가?

먼저 떠올릴 장면

방정식은 저울 문제로 떠올리면 이해가 쉽습니다. 저울 양쪽이 균형을 이루고 있다면, 양쪽에서 같은 무게를 빼거나 같은 무게를 더해도 여전히 균형은 유지됩니다.

부등식은 저울이 기울어진 장면에 더 가깝습니다. 한쪽이 더 무겁다면, 그 차이가 유지되는지, 뒤집히는지를 따지는 문제가 됩니다.

즉 방정식은 "같음"을 지키는 문제이고, 부등식은 "크고 작음의 방향"을 지키는 문제입니다.

식이 묻는 것은 값인가, 범위인가

먼저 식이 한 숫자를 묻는지, 여러 숫자의 범위를 묻는지 구분해야 합니다.

아래 식은 어떤 값 하나를 찾는 문제입니다.

$$ 2x + 3 = 11 $$

반면 아래 식은 어떤 범위의 값을 찾는 문제입니다.

$$ 3x - 2 > 7 $$

첫 번째는 "등호가 참이 되는 한 값"을 찾는 방정식이고, 두 번째는 "조건을 만족하는 모든 값"을 찾는 부등식입니다. 이 차이를 먼저 이해해야 해가 하나인지, 여러 개인지 자연스럽게 읽을 수 있습니다.

방정식의 해란 무엇인가

방정식의 해는 식에 실제로 넣었을 때 등식이 참이 되게 만드는 값입니다.

예를 들어 아래 방정식을 보겠습니다.

$$ 2x + 3 = 11 $$

만약 x = 4를 넣으면,

$$ 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11 $$

이 되어 왼쪽과 오른쪽이 같습니다. 따라서 x = 4는 이 방정식의 해입니다.

반대로 x = 3을 넣으면,

$$ 2 \cdot 3 + 3 = 9 $$

이므로 11과 같지 않습니다. 따라서 x = 3은 해가 아닙니다.

중요한 점은 방정식을 푼다는 것이 "보기 좋은 모양으로 바꾸는 것"이 아니라, "식을 참으로 만드는 값을 찾아내는 것"이라는 점입니다.

왜 양변에 같은 연산을 해도 되는가

방정식을 풀 때 가장 자주 쓰는 원리는 아래 한 문장으로 정리할 수 있습니다.

같은 것끼리 같은 변화를 주면 같음은 유지됩니다.

예를 들어 아래가 참이라고 합시다.

$$ a = b $$

양쪽에 같은 수 c를 더하면,

$$ a + c = b + c $$

가 됩니다. 양쪽에서 같은 수 c를 빼도 마찬가지입니다.

$$ a - c = b - c $$

c가 0이 아니라면 양쪽을 같은 수 c로 나누어도 됩니다.

$$ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $$

이 원리 덕분에 방정식을 점점 단순한 모양으로 바꿀 수 있습니다. 이항도 사실은 특별한 기술이 아니라, 양변에 같은 연산을 한 결과를 더 짧게 쓰는 말일 뿐입니다.

일차방정식은 어떻게 푸는가

일차방정식은 미지수가 한 번만 나오는 방정식입니다. 목표는 x를 홀로 남기는 것입니다.

아래 식을 보겠습니다.

$$ 2x + 3 = 11 $$

먼저 양변에서 3을 빼서 x가 들어 있는 항만 남깁니다.

$$ 2x = 8 $$

그다음 양변을 2로 나눕니다.

$$ x = 4 $$

이 과정에서 중요한 것은 "왼쪽에서만 무언가를 없애는 것"이 아니라, "양변에 같은 연산을 하면서 등식의 뜻을 지키는 것"입니다.

이항은 왜 되는가

학생들이 자주 배우는 표현 중 하나가 "넘기면 부호가 바뀐다"입니다. 이 말은 계산 요령으로는 편하지만, 원리를 가리기 쉽습니다.

예를 들어 아래 식에서,

$$ 2x + 3 = 11 $$

3을 오른쪽으로 "넘긴다"고 말하기보다, 양변에서 3을 뺀다고 이해하는 편이 정확합니다.

$$ 2x + 3 - 3 = 11 - 3 $$

$$ 2x = 8 $$

즉 부호가 바뀐 것처럼 보이는 이유는 실제로 반대쪽에 같은 수를 더하거나 빼는 연산을 했기 때문입니다. 이 원리를 이해하면 식이 길어져도 흔들리지 않습니다.

간단한 이차방정식은 구조로 푼다

모든 방정식이 일차방정식은 아닙니다. 예를 들어 아래처럼 제곱이 들어간 식도 있습니다.

$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$

이 식은 인수분해가 되면 훨씬 읽기 쉬워집니다.

$$ (x - 2)(x - 3) = 0 $$

곱해서 0이 되려면 둘 중 하나가 0이어야 합니다. 따라서

$$ x - 2 = 0 $$

또는

$$ x - 3 = 0 $$

가 되어 해는 다음 두 개입니다.

$$ x = 2, \quad x = 3 $$

이 예시는 해가 하나만 있는 것이 아니라 여러 개일 수도 있다는 사실을 보여 줍니다.

부등식은 왜 범위로 답하는가

부등식은 어떤 한 값만 찾는 문제가 아니라, 조건을 만족하는 모든 값을 찾는 문제입니다.

예를 들어 아래 부등식을 보겠습니다.

$$ 3x - 2 > 7 $$

양변에 2를 더하면,

$$ 3x > 9 $$

양변을 3으로 나누면,

$$ x > 3 $$

이 말은 답이 4 하나라는 뜻이 아닙니다. 3보다 큰 모든 수가 답이라는 뜻입니다. 그래서 부등식의 답은 보통 수직선의 범위나 구간으로 읽습니다.

왜 음수로 곱하거나 나누면 방향이 바뀌는가

이 부분은 암기로 넘기면 뒤에서 계속 흔들립니다. 방향이 왜 바뀌는지 짧게라도 이해해야 합니다.

아래 부등식을 보겠습니다.

$$ 2 < 5 $$

양쪽에 -1을 곱하면,

$$ -2 > -5 $$

가 됩니다. 왜냐하면 수직선에서 음수를 곱하는 것은 방향을 뒤집는 효과를 내기 때문입니다. 큰 수와 작은 수의 위치가 서로 뒤집혀, 부등호 방향도 반대로 바뀝니다.

따라서 아래처럼 음수로 나누거나 곱할 때는 항상 부등호 방향을 바꾸어야 합니다.

$$ -2x < 6 $$

양변을 -2로 나누면,

$$ x > -3 $$

가 됩니다.

범위 조건은 AI 수학에서도 계속 나온다

부등식은 단지 중등수학 한 단원에서 끝나지 않습니다. AI 수학에서도 조건을 거는 문장 대부분이 부등식입니다.

확률 p는 반드시 아래 조건을 만족해야 합니다.

$$ 0 \leq p \leq 1 $$

학습률 \eta는 보통 양수라는 조건을 둡니다.

$$ \eta > 0 $$

즉 부등식은 "허용되는 범위"를 말하는 언어입니다. 이 감각이 있어야 뒤에서 모델이 만족해야 할 조건을 자연스럽게 읽을 수 있습니다.

예제

일차방정식 풀기 문제: 아래 방정식을 풀어라.

$$ 2x + 3 = 11 $$

풀이: 양변에서 3을 빼면 다음과 같다.

$$ 2x = 8 $$

양변을 2로 나누면,

$$ x = 4 $$

해설: 3을 오른쪽으로 넘긴다고 외우기보다, 양변에서 같은 수를 뺀다고 이해해야 식이 길어져도 흔들리지 않는다.

간단한 이차방정식 읽기 문제: 아래 방정식의 해를 구하라.

$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$

풀이: 먼저 인수분해한다.

$$ (x - 2)(x - 3) = 0 $$

곱이 0이 되려면 둘 중 하나가 0이어야 하므로,

$$ x = 2, \quad x = 3 $$

해설: 이차방정식은 해가 하나만 있는 것이 아니라 여러 개일 수 있다. 식의 구조를 먼저 보는 습관이 중요하다.

부등식의 범위 읽기 문제: 아래 부등식을 풀어라.

$$ 3x - 2 > 7 $$

풀이: 양변에 2를 더하면,

$$ 3x > 9 $$

양변을 3으로 나누면,

$$ x > 3 $$

해설: 답은 3 하나가 아니라 3보다 큰 모든 수다. 부등식의 해는 범위로 읽어야 한다.

음수로 나눌 때 방향 바꾸기 문제: 아래 부등식을 풀어라.

$$ -2x < 6 $$

풀이: 양변을 -2로 나누면 부등호 방향이 바뀐다.

$$ x > -3 $$

해설: 음수를 곱하거나 나누면 수직선의 방향이 뒤집히기 때문에, 부등호도 함께 뒤집어야 한다.

스스로 점검

연습 문제

아래 방정식을 풀어라.

$$ 5x - 7 = 13 $$

아래 방정식의 해를 구하라.

$$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$

아래 부등식의 해집합을 구하라.

$$ 2x + 1 \leq 9 $$

아래 부등식의 해집합을 구하라.

$$ -3x + 6 > 0 $$

확률 p에 대해 아래 조건이 왜 필요한지 설명하라.

$$ 0 \leq p \leq 1 $$

복습 질문

방정식의 해와 부등식의 해는 어떻게 다른가?
양변에 같은 연산을 해도 되는 이유를 저울 비유 없이 설명할 수 있는가?
음수로 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 이유를 설명할 수 있는가?

체크포인트

일차방정식을 원리대로 풀 수 있다.
간단한 이차방정식에서 해가 여러 개일 수 있음을 이해한다.
부등식의 답을 숫자 하나가 아니라 범위로 읽을 수 있다.
조건식을 AI 수학의 허용 범위로 해석할 수 있다.